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ISSN: 2244-8519        Año 2 No. 3: Septiembre - Diciembre 2013

LA MATEMÁTICA COMO LENGUAJE DE LA CIENCIA

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AUTORES:

PhD. Rafael María Crespo R.

Dra. Odalis M. Martínez H.



RESUMEN 

Este es un trabajo esencialmente didáctico en el sentido que se trata de mostrar una revisión bibliográfica sobre la definición de la matemática. En el estudio encontrarás que hemos hecho una revisión sobre el pensamiento de autores de vieja data y de los tiempos modernos. Nuestro propósito original al escribir este artículo fue proporcionar un material que despeje las posibles confusiones en los estudiantes y muchos profesores sobre la definición de la ciencia matemática. Hallarás que se ha insistido en dejar meridianamente claro qué es la matemática y cuáles son sus alcances como ciencia auxiliar de las demás ciencias y de ella misma. 

Palabras clave: Matemática, definición, ciencia, lenguaje, pensamiento. 

 

INTRODUCCIÓN 

El propósito de este trabajo, tiene en esencia, buscar una definición concreta y suficiente sobre la ciencia matemática; una definición que no salga de la ligereza de un diccionario ni de sus raíces etimológicas ya que, como bien sabemos, estos no son elementos suficientes para tal fin. De esta manera, nos abocamos al trabajo de hacer una revisión bibliográfica que sea suficiente para comprender que el conglomerado de autores, hombres y mujeres de ciencia, cada uno emite su definición; encontrándonos que lo hacen con veracidad y precisión, pero no podemos concluir cuál es la más acertada y mucho menos hacer una fusión de ellas hasta concluir con las más compacta, idónea y descriptiva. Los que nos hemos dedicado a la docencia en la enseñanza de la matemática nos corresponde hacer este oficio con madurez y sabiduría ya que así lo exige esta disciplina, de lo contrario corremos el riesgo de caer en posiciones aventureras, cuestión que debemos evitar los docentes en esta ciencia, máxime que, como bien sabemos, la enseñanza de la matemática está sufriendo actualmente un momento de crisis histórica. Es indiscutible que al comienzo de un curso, dentro de una actividad de incentivación debe exponerse con mucha claridad qué es la matemática, cuáles son sus alcances y sus aplicaciones. Esta actividad, la hemos considerado los docentes de suma importancia e indispensable para arrancar con el proceso enseñanza-aprendizaje, es el momento en que trataremos de lograr que el estudiante se identifique con esta ciencia y alejarlo de las posibles frustraciones. Debemos evitar las improvisaciones y nunca creer que “nos las sabemos todas”. Es necesario que nos sometamos plenamente al rigor que exigen los preceptos pedagógicos, de la didáctica de la matemática y filosofía de la educación. En el caso de la enseñanza de la matemática no podemos olvidar que es una actividad con carácter de apostolado y no dejar de lado la gran interrogante ¿de qué manera debemos enseñar las matemáticas? Para ello, con lo primero que debemos contar es con un conocimiento sólido acerca de los tópicos matemáticos objeto de estudio y luego aprender a enseñarlos. Sin duda que un buen logro sería que el estudiante pueda emitir una definición precisa de la matemática basada en sus conocimientos y en sus propias experiencias. De esta manera, la revisión bibliográfica que sirvió de apoyo en el marco de la escritura de este artículo fue con el propósito de cumplir con un único objetivo.

 

OBJETIVO GENERAL

Encontrar una definición de la matemática que se ajuste satisfactoriamente a las propiedades y características propias de esta ciencia, con la cual hacer hincapié y presentarla con cierta relevancia ante las múltiples definiciones que aparecen en diferentes biografías. 

 

INFORME DE LA INVESTIGACIÓN

Uno de los grandes físicos del Siglo XX, Niels Bohr (1955), deseando subrayar el grandioso papel de la matemática en el desarrollo de las ciencias naturales teóricas, señaló que la misma no es sólo una ciencia, sino el lenguaje de la ciencia. Es cierto que con ayuda de los conceptos y métodos matemáticos, otras ciencias expresan las relaciones y dependencias entre las propiedades y parámetros de los procesos investigados, formulan sus teorías, intentan descubrir nuevas leyes y encontrar fenómenos antes desconocidos. Sin duda, cuando Bohr se refería al lenguaje matemático tenía en cuenta el lenguaje en un amplio sentido de la palabra, es decir, lo consideraba como medio de expresión del pensamiento científico. En este sentido el lenguaje matemático puede asemejarse al lenguaje corriente. De la misma forma que éste además de expresar los pensamientos, posibilita el proceso de pensar, el lenguaje de la matemática no se limita a la formulación precisa de nuevas leyes y teorías, sino que en algunos casos contribuye a su descubrimiento y creación.

Los señalamientos de Bohr nos abren las siguientes interrogantes ¿Qué es la matemática? ¿Cómo fue creada y quiénes fueron y son las personas que la crean y la practican? ¿Se puede describir su desarrollo y su papel en la historia del pensamiento científico, así como predecir su futuro? Podríamos decir, que la matemática es un microcosmo autosuficiente, pero tiene también la capacidad de reflejar y modelar todos los procesos del pensamiento y hasta, quizá, toda la ciencia. Ha tenido siempre gran utilidad, y continúa teniéndola, en grado cada vez mayor. Hasta podría decirse que la matemática fue necesaria para la conquista de la naturaleza por el hombre y para el desarrollo de la especie humana, a través de la formación de sus modos de pensamiento.

En efecto, por lejos que nos remontemos en los testimonios de la curiosidad del hombre y de su búsqueda de comprensión, hallamos que la matemática fue cultivada, estimada y enseñada para su transmisión a las nuevas generaciones. Se le ha considerado como la expresión más acabada del pensamiento racional referido al mundo externo, y también como un monumento al deseo del hombre de sondear el funcionamiento de su propia mente.

No debemos tratar de definir la matemática, porque hacerlo sería circunscribir su dominio, y además, podríamos decir que la matemática puede generalizar, modificar y ampliar cualquier esquema. Y cuando lo hace, sin embargo, el resultado sólo constituye una parte de la matemática. En verdad, quizá lo característico de la disciplina sea que se desarrolla mediante un constante auto examen, con un grado cada vez mayor de conciencia de su propia estructura. Esta sin embargo cambia continuamente, y a veces radical y fundamentalmente. Por esta razón el intento por definir la matemática con la esperanza de que tal definición sea completa y definitiva, se halla condenado, con seguridad, al fracaso. Lo que sí es cierto que la matemática conlleva un lenguaje: el lenguaje matemático, el cual con frecuencia es llamado lenguaje cuantitativo. Dicha denominación está perfectamente fundamentada, siempre y cuando la cantidad no se limite a magnitudes y cifras, sino que se considere como sinónimo de una estructura matemática abstracta.

Surgen otras interrogantes: ¿cuáles son las ventajas del lenguaje cuantitativo respecto al cualitativo? Ante todo, permite expresar, de forma más exacta y general, las leyes y teorías de los fenómenos investigados. Si conocemos las leyes y teorías no sólo seremos capaces de explicar los hechos y acontecimientos ya conocidos, sino de pronosticar la existencia de otros hechos y fenómenos desconocidos. Debe señalarse, sin embargo, que el lenguaje cuantitativo y los métodos matemáticos no disminuyen en nada la importancia de los procedimientos cualitativos de investigación específicos de cada ciencia y de su correspondiente lenguaje cuantitativo. Todo estudio de fenómenos nuevos comienza por el análisis de sus propiedades y relaciones. En esta etapa el papel decisivo pertenece, sobre todo en las ciencias empíricas, a las observaciones sistemáticas y a la cuidadosa preparación de los experimentos. Sin embargo, ya para la elaboración de los resultados de las observaciones y los experimentos se necesitan los métodos matemáticos. Para establecer las interdependencias entre las magnitudes del proceso investigado primero hay que aprender a medirlas. En el proceso de medición se obtiene una multitud de datos numéricos que exigen elaboración estadística. Para este se utilizan los métodos más disímiles de la estadística moderna. La investigación de las dependencias funcionales entre las propias magnitudes variables y las cifras que las expresan exigen la aplicación del aparato más complejo y desarrollado del análisis matemático. Pero dicha investigación es imposible sin tener en cuenta el carácter específico, cualitativo, de las dependencias investigadas. El científico debe seleccionar aquel aparato matemático que lo ayude a construir el modelo adecuado del fenómeno investigado. Todo esto muestra que, en la práctica real de la investigación científica los aspectos cuantitativo y cualitativo actúan en unidad. Por esta razón, sólo podemos examinarlos separadamente en aras de una mejor comprensión del objeto. En realidad entre los métodos cuantitativos y cualitativos existe una interacción dialéctica. Cuanto mejor conozcamos las particularidades cualitativas de los fenómenos, con mayor éxito las utilizaremos para el análisis ulterior de los fenómenos cuantitativos. A su vez, cuanto más perfectos sean los métodos cuantitativos utilizados para el análisis de los fenómenos, con tanta mayor profundidad conoceremos sus particularidades cualitativas.

Insistiendo sobre la empinada idea de hallar una definición de la matemática, Federico Engels (1890) expone una sobre la matemática pura y expone: la matemática pura tiene por objeto las formas espaciales y las relaciones cuantitativas del mundo real. En las primeras etapas de su desarrollo, la matemática, surgida en la remota antigüedad por las necesidades que presentaba el hacer práctico, tenía por objeto la forma más simple de los números y de las figuras geométricas. En lo fundamental esta situación se conservó hasta el siglo XVII. Desde este tiempo y hasta la segunda mitad del siglo XIX, la matemática se desarrolló sobre todo, como análisis matemático, que fue descubierto precisamente en el siglo XVII. El descubrimiento de las geometrías no euclidianas y la creación de la teoría de los conjuntos llevaron a la reestructuración de todo el sistema de la matemática y a la creación de ramas suyas completamente nuevas. En la matemática actual, ha adquirido un importante significado la lógica matemática. Los métodos matemáticos se usan en gran escala en la ciencia natural exacta. Su aplicación en la biología y en las ciencias sociales ha presentado un carácter casual hasta los últimos tiempos. En este terreno, la creación, por influjo directo de la práctica, de secciones como la programación lineal, la teoría de los juegos, la teoría de la información, y la aparición de las máquinas matemáticas electrónicas abre perspectivas completamente nuevas. Los problemas filosóficos de la matemática, carácter y origen de la abstracción matemática, peculiaridades de la misma, siempre han sido campos de lucha entre el materialismo y el idealismo. Poseen una significación de singular importancia las cuestiones filosóficas surgidas en torno a los problemas de los fundamentos de la matemática.

Si tratamos de describir históricamente una parte del desarrollo de la matemática y de examinar brevemente algunos hitos fundamentales y alguna influencia descollantes, concentraremos nuestra atención en el problema de saber en qué medida el progreso de la matemática depende de la “invención” y en qué medida tiene el carácter de un descubrimiento; para ello, trataremos de discernir si el mundo físico exterior a nosotros, al que percibimos con nuestros sentidos y observamos y medimos con nuestros instrumentos, dicta la elección de axiomas, definiciones y problemas. ¿Será esto en esencia, libre expresiones de la mente humana, influida quizás, o hasta determinada, por la estructura fisiológica del hombre? Al igual que otras ciencias, la matemática ha sufrido grandes cambios en los últimos cien años. No solamente se ha dilatado mucho su ámbito, no sólo se ha desplazado el énfasis sobre los problemas considerados como fundamentales, sino que también se han modificado en cierta medida el tono y los fines de la matemática. No hay duda que muchos grandes triunfos de la física, la astronomía y otras ciencias “exactas” derivan en buena parte de la matemática, después de disponer libremente de las herramientas que la matemática ayudó a perfeccionar las disciplinas hermanas han retribuido la atención suministrándole nuevos problemas y dándole nuevas fuentes de inspiración.

También la tecnología puede ejercer una profunda influencia sobre la matemática; al haber permitido la creación de computadoras de gran velocidad, ha aumentado inconmensurablemente el campo de experimentación dentro de la matemática misma. Los cimientos mismos de la matemática y de la lógica matemática han sufrido cambios revolucionarios en los tiempos modernos; así es cómo a través de toda la historia de la matemática vuelven a aparecer constantemente ciertos temas específicos, ejemplificando con profusión su interacción y sus variaciones. El tema más característico de la matemática es el del infinito y al tratar de mostrar cómo se lo introdujo, se lo definió y se lo trató en diversos contextos; de esta manera, una opinión muy difundida contrariamente entre los no científicos, la matemática no es un edificio cerrado y perfecto. La matemática es una ciencia; y también es un arte. Los criterios de juicio en la matemática son siempre estéticos, al menos en parte. La mera verdad de una proposición no basta para considerarla como una parte de la matemática. Se busca “utilidad”, “interés” y también “belleza”. La belleza es subjetiva y puede parecer sorprendente que haya, por lo común, bastante acuerdo entre los matemáticos en lo concerniente a valores estéticos.

En un aspecto la matemática se diferencia de otras ciencias: En ella nada cae en desuso. Una vez que se ha demostrado un teorema nunca pierde su valor, aunque puede pasar luego a ser un simple caso de una verdad más general. El material matemático crece sin revisiones, y el aumento de conocimientos es constante.

Los objetos matemáticos más primitivos son los números enteros: 1, 2, 3,… Quizás igualmente primitivos sean los puntos y las configuraciones simples como son, por ejemplo, las rectas y los triángulos. Se hallan tan profundamente arraigados en nuestras experiencias más elementales, aquellas que se remontan a la infancia, que durante siglos se los admitió sin examen. Sólo a fines del siglo XIX se emprendió seriamente un intrincado examen lógico de la aritmética (Peano, 1890; Frege, 1900; Russell, 1930) y de la geometría (Hilbert, 1920) pero aunque se aceptaban de manera acrítica los enteros positivos y los puntos, continuó el proceso característico de la matemática, de crear nuevos objetos y erigir nuevas estructuras.

De los objetos se pasa a conjunto de esos objetos, a funciones y a correspondencias. La idea de correspondencia o transformación proviene de la tendencia, también elemental, del hombre a identificar ordenamientos similares y a abstraer un modelo común de situaciones diferentes en apariencia; y a medida que el proceso de interacción continúa se pasa a clases de funciones, a correspondencias entre funciones, luego a clases de tales correspondencias, y así sucesivamente a un ritmo cada vez más acelerado y sin fin. De esta manera, los objetos simples dan origen a otros de nueva y creciente complejidad. El método consiste principalmente en el formalismo de la demostración, que apenas ha cambiado desde la antigüedad. El esquema básico es, aún, partir de un pequeño número de axiomas y luego, mediante reglas lógicas estrictas, deducir nuevos enunciados. Las propiedades de este proceso, su alcance y sus limitaciones sólo han sido examinadas críticamente en años recientes. Este campo de estudio, la metamatemática, también forma parte de la matemática. El objeto de este estudio puede parecer un conjunto de reglas bastante especiales, a saber, las de la lógica matemática. Pero estas resultan ser omnímodas y poderosas. En cierta medida pues, la matemática se alimenta de sí misma. Pero no hay en ella ningún círculo vicioso, ni tampoco es un juego estéril, como lo demuestran los triunfos de los métodos matemáticos en la física, la astronomía y otras ciencias naturales. Quizás esto se deba a que el mundo externo sugiere vastas clases de objetos para la labor matemática, y los procesos de generalización y elección de nuevas estructuras no son totalmente arbitrarios. La irracional eficacia de la matemática quizás siga siendo un misterio filosófico, pero no ha impedido en modo alguno sus espectaculares éxitos.

Se ha definido la matemática como la ciencia de extraer conclusiones necesarias. De algún modo elegimos enunciados que abarcan de manera concisa una gran clase de casos especiales y consideramos que algunas demostraciones son elegantes o hermosas. El método, pues, contiene algo más que la mera lógica que interviene en la deducción. Y hay también en los objetos algo menos de lo que pueden sugerir sus orígenes intuitivos o instintivos.

En realidad una característica distintiva de la matemática es que puede operar de manera efectiva y eficiente sin definir sus objetos. Los puntos, las rectas y los planos no se definen. De hecho, un matemático de la actualidad rechaza los intentos de sus predecesores por definir un punto como algo que no tiene longitud ni grosor o por brindar pseudo definiciones, igualmente sin sentido, de rectas o planos.

El punto de vista al que se ha llegado después de una evolución de siglos es que no se necesita saber qué son las cosas mientras sepamos cuáles enunciados acerca de ello podemos afirmar. La famosa obra “Der Geometrie” escrita por de Hilbert Grundlagen (1903) comienza con la siguiente oración: “Sean tres tipos de objetos; a los objetos del primer tipo lo llamaremos puntos; a los del segundo tipo, líneas; y a los del tercer tipo, planos”. Y es todo, excepto que sigue una lista de enunciados iniciales llamados axiomas en los que figuran las palabras punto, línea y plano, y de los cuales pueden deducirse ahora, mediante la lógica solamente, otros enunciados en los que figuran esas palabras no definidas.

Este tipo característico de abstracción, que conduce a una despreocupación casi total por la naturaleza física de los objetos geométricos, no está confinado a los límites tradicionales de la matemática. El examen crítico de Ernst Mach (1897) inspirado en James C. Maxwell (1873), sobre la noción de temperatura es un ejemplo de ello. Para definir la temperatura se necesitan las nociones de equilibrio térmico y contacto térmico, pero definir éstas en términos lógicamente aceptables es, por lo menos, difícil, y hasta quizá sea imposible. El análisis revela que lo que realmente se necesita es la transitividad del equilibrio térmico, esto es, el postulado llamado a veces el principio térmico de la termodinámica, según el cual si (A y B) y (A y C) están en equilibrio térmico, entonces también lo están (B y C). Para completar el esquema, también se necesita un tipo de principio inverso del principio cero, a saber, que si A, B y C están en equilibrio térmico, entonces también lo están (A y B) y (A y C). Nuevamente, como en la geometría, no se necesita conocer el significado, lógicamente, preciso de los términos, si no solamente como combinarlos en enunciados permisibles.

Pero si bien podemos operar confiadamente con objetos y conceptos indefinidos y quizás hasta indefinibles, estos objetos y conceptos derivan de la realidad física aparente o al menos sensorial. Las apariencias físicas sugieren y hasta dictan los axiomas iniciales; la misma realidad aparente nos guía en la formulación de cuestiones y problemas.

Decía Henry Poincaré (1894), “Existir en matemática es estar libre de contradicción”. Pero la mera existencia no garantiza la supervivencia. Para sobrevivir en la matemática se requiere un tipo de vitalidad que no es posible describir en términos puramente lógicos, y el lector debe convencerse de que en la matemática pura hay más de lo que contiene la definición de Russell: La matemática pura es la clase de toda las proposiciones de la forma p implica q donde p y q son proposiciones que contienen una o más variables, las mismas en las dos proposiciones, ni p ni q contienen ninguna constante excepto constantes lógicas.

La utilización de un rico aparato matemático junto con las reglas y principios de la lógica posibilita la obtención de todos los corolarios necesarios de las leyes, hipótesis y teorías formuladas con precisión en las ciencias concretas. Pero en este caso, la matemática tiene asignado otro papel, según el cual su aparato formal se aplica al entendimiento de los criterios rigurosos acerca de qué considerar demostración, cuándo una consecuencia se deduce lógicamente de las premisas, de qué forma podemos juzgar sobre la corrección lógica de las teorías.

Si en el primer caso, es decir, cuando se habla del lenguaje matemático en un amplio sentido de la palabra, identificaremos en esencia este lenguaje con el de las formulas, ecuaciones, funciones y otras estructuras, en el segundo se trata de la y utilización de métodos matemáticos para la creación de lenguajes formalizados especiales de las distintas ciencias. Algunos científicos consideran este aspecto como el fundamental para la elaboración de las teorías científico-naturales. Por ejemplo, el investigador inglés J. H. Woodger (1929), uno de los pioneros en la aplicación del método axiomático en biología, considera que el uso de métodos lógico-matemáticos en la biología y otras ramas de las ciencias naturales consiste en la creación de un lenguaje tan perfecto que pueda considerarse una excepción.

El método axiomático, utilizado exitosamente por Euclides en el siglo III a.C. para la exposición de la geometría elemental sirve de fundamento para la creación de ese lenguaje científico. Como sabemos, la axiomática euclidiana tenía un carácter concreto, de contenido, pues describía las propiedades geométricas de los objetos del mundo que nos circunda. Haciendo abstracción de este contenido concreto puede fundarse un sistema axiomático abstracto en el cual los conceptos de partida de la geometría, que son el “punto”, la “recta” y la “superficie”, pueden interpretarse de la forma diversa.

David Hilbert (1900) fue el primero que formuló con precisión esta concepción abstracta sobre los axiomas. Decía en broma que si sustituimos las palabras “punto”, “recta” y “superficie” por las palabras “mesa” “silla” y “círculo de bebedores” nada cambiaría en la geometría. Sin embargo, tanto en los sistemas axiomáticos concretos como en los abstractos, las reglas por medio de las cuales los teoremas se deducen de los axiomas no se indican claramente, sino que sólo se suponen. Además, los propios axiomas, al igual que los teoremas, se formulan mediante la utilización de determinados símbolos matemáticos. Precisamente, es así como en la actualidad se exponen la mayoría de las disciplinas matemáticas.

Para pasar a los sistemas axiomáticos formalizados es necesario, en primer lugar, formular con claridad y enumerar totalmente las reglas lógicas de la conclusión; en segundo término, que todos los conceptos y juicios expresados en el lenguaje común se han traducido al lenguaje de símbolos y formulas.

A primera vista puede parecer que entre los cálculos y las demostraciones de los teoremas existe una diferencia indeterminable. De hecho, los cálculos tienen que ver con cifras, mientras que las demostraciones están relacionadas con las afirmaciones. Las reglas del cálculo son más exactas que las de la conclusión. Los cálculos admiten la utilización de métodos aproximativos, al tiempo que no existen conceptos de demostración aproximativa. Por último, para los cálculos se dispone de procedimientos efectivos, en tanto que el proceso de demostración es inefectivo en gran medida. Analizando todas estas diferencias Hao Wang (1967) en uno de sus primeros artículos “hacia una matemática mecánica”, subraya que las mismas no deben ser exageradas. En lugar de valoraciones abstractas hay que ocuparse de la búsqueda de procedimientos más efectivos para la comprobación de las demostraciones. En 1958 creó tres programas para computadoras. Con la ayuda del primero de ellos logró en menos de tres minutos, comprobar la demostración de doscientos teoremas de cálculos de enunciados que aparecen en el trabajo de más autoridad en lógica matemática, Principia Mathematica de Russell y Whitehead (1920).

Resultaron más modestos los intentos de hacer uso de la máquina para la confección de teoremas a partir de símbolos y seleccionar aquellos que poseían una significación no trivial. A partir de estos resultados, Hao Wang (1975) llegó a la conclusión de que las máquinas computadoras pueden utilizarse para la formalización y comprobación de demostraciones y no para la demostración de nuevos teoremas. En realidad, durante la formulación y búsqueda de demostraciones de teoremas hay que modelar las condiciones más sofisticadas y complejas del trabajo del matemático. Por supuesto, pueden detectarse y programarse diversos procedimientos heurísticos de razonamiento que nos acerquen a la verdad. Pero como bien observa Wang, resulta absurdo suponer que estamos en condiciones de otorgar a la máquina una subconsciencia comparable a la de Poincaré, las investigaciones para la búsqueda de procedimientos demostrativos universales se planteó como fin último la formulación y comprobación de las demostraciones que se aplican en la matemática moderna. Por ello exigía como es de suponer, resolver esta tarea en la propia lógica matemática. Los resultados satisfactorios en este campo fueron obtenidos, como vimos, a cuenta de la desmembración de la demostración en una cantidad mayor de pasos elementales y de su análisis ulterior en una computadora. Sin embargo, en los razonamientos matemáticos de contenido, esos pasos elementales se funden en otros mayores. Por esta razón, resultó natural intentar utilizar bloques constructivos más grandes en lugar de dividir la demostración en ladrillos elementales más pequeños. Para desarrollar esta idea, en el Instituto de Cibernética de la Academia de Ciencias de Ucrania, tal como señala V. M. Glushkov (1961), se creó una lógica matemática práctica que se correlaciona con la matemática clásica, de la misma forma que el lenguaje contemporáneo de los programas de clase superior se relaciona con el lenguaje de la máquina de Turín.

Los métodos formales y los lenguajes formalizados fueron utilizados primeramente en la propia matemática para el análisis de la estructura de sus teorías. El campo principal de aplicación fueron las investigaciones sobre las fundamentaciones de la matemática relacionadas con la superación de ciertas dificultades aparecidas en la teoría de los conjuntos de cantor, una vez descubierto en ella todo un conjunto de paradojas o antinomias. Para superar estas paradojas o, por lo menos, localizarlas, la teoría de conjunto se construye ahora de forma axiomática, en cuyo caso los axiomas se seleccionan teniendo en cuenta excluir, desde los comienzos, la formación de conjuntos demasiado grandes a los cuales están vinculadas las paradojas. La aparición de paradojas estimuló la investigación del lenguaje de la ciencia y, ante todo, de la matemática para ello era menester disponer de una determinada teoría del análisis lógico del lenguaje. Según la opinión del conocido matemático y lógico norteamericano A. Church (1973), la adopción de semejante teoría debía considerarse el rasgo distintivo principal del lenguaje formalizado y no las circunstancias de que resultara cómodo sustituir algunas palabras por letras y símbolos especiales. La posibilidad apareció después de la creación de la lógica matemática la que comenzó a usar métodos matemáticos en los comienzos para el análisis de los propios razonamientos y demostraciones matemáticas, y después, para el de los razonamientos de otras ciencias. Debido a ello hubo necesidad de ampliar y generalizar el propio concepto del lenguaje.

Desde un punto de vista semiótico, el lenguaje se caracteriza según dos particularidades. Primeramente, por la presencia de un determinado alfabeto, es decir, de un determinado símbolo que puedan reproducirse en cantidades ilimitadas. En segundo lugar por la existencia de reglas que indiquen cómo pueden formarse determinadas combinaciones a partir de letras, las cuales se denominan expresiones o palabras. Dichas reglas se llaman comúnmente reglas de formación. De igual manera que en un lenguaje natural distinguimos las expresiones con sentido de aquellas sin sentido, en los lenguajes formalizados existe una diferencia entre las expresiones correctamente construidas o formulas, y las incorrectamente construidas.

El siguiente paso en la creación de un lenguaje formalizado consiste en describir con precisión las reglas según las cuales de unas formulas se obtienen otras. Tales reglas se conocen normalmente como reglas de transformación. Como formulas de partida para la conclusión se pueden adoptar, en términos generales, cualesquiera formulas correctamente construidas, aunque es normal que al hacerlo se sigan determinadas consideraciones de contenido. Todas las demás formulas adecuadamente construidas se tratan de demostrar, es decir, de deducir de los axiomas con ayuda de las reglas lógicas. La demostración formal se reduce a una cierta secuencia de formulas, donde cada una de ellas forma, bien un axioma, o bien se obtiene de los axioma mediante las reglas de deducción. La última de las fórmulas en la secuencia constituirá la fórmula demostrada o teorema.

Durante la formalización, el proceso de demostración del teorema se desmiembra en un número mayor de pasos elementales. Estos pasos son mucho más simples que las etapas de la demostración que el matemático supera en su trabajo creador. Es claro que la desmembración de la demostración en esos pasos elementales demoraría el trabajo y dificultaría abarcar la demostración en su conjunto. Antes de la aparición de las computadoras era difícil pensar en la utilización de los métodos de la formulación de la demostración para la deducción de teoremas a partir de axiomas. Si para el hombre la desmembración de la demostración en una cantidad mayor de pasos elementales y la realización de los cálculos constituye un trabajo monótono, carente de interés y agotador y, lo que es fundamental, trabajo que se encuentra limitado por sus capacidades naturales como son la memoriam, la atención, la resistencia, la máquina por el contrario carece de tales limitaciones. Gracias precisamente a la formalización de la demostración y a su desmembración en una cantidad mayor de pasos elementales resulta posible la aplicación de computadoras a la comprobación de la demostración de los teoremas. Por este camino, como señala Hao Wang, fue posible encontrar la aplicación principal de la lógica basada en su esencia y no en aspectos casuales, lo que equivale a tratar las demostraciones con la misma efectividad que los cálculos.

En el empleo de dichos lenguajes los razonamientos de contenidos se sustituyen por ciertas operaciones con símbolos y fórmulas realizadas según reglas de transformación previstas. Debido a que este proceso recuerda mucho a los cálculos con los números en la aritmética o, sobre todo, con letras en el álgebra, es frecuente que los lenguajes formalizados sean llamados cálculos. Todo cálculo posibilita transformar mecánicamente una expresión en otras y obtener conclusiones indiscutibles. Es por ello que todavía en la aurora del surgimiento de la lógica matemática, Leibnitz (1700) soñaba con la creación de un método universal que permitiera reducir todo razonamiento a un cálculo. Con la ayuda de este método, Leibnitz pensaba resolver no sólo problemas puramente científicos, sino también los de la religión, la política y la filosofía. En caso que se produzcan discusiones, escribió Leibnitz: “Los filósofos no tendrán que apelar a la disputa, como lo hacen los contadores sino que tomarían el lápiz, se sentarían tras la pizarra y dirían, vamos a calcular”.

Aunque este sueño del fundador de la lógica matemática resultó utópico, de todas formas permitió la elaboración y aplicación de los modelos lógico-matemáticos a otras ciencias. Entre estos métodos hay que señalar, en primer lugar, las teorías y métodos matemáticos con ayuda de los cuales se analiza la estructura formal de los lenguajes de las diferentes disciplinas científicas.

Inicialmente, ese análisis se realizó en la propia matemática: primero en la geometría, después en el álgebra y en el análisis. Como ya señalamos, la investigación de la estructura formal del lenguaje de la ciencia se reduce a la detección de los vínculos lógicos entre las diferentes afirmaciones que figuran en sus teorías: leyes, principios, hipótesis, hechos. En este caso, se aspira a encontrar las premisas de partida de la teoría, a partir de las cuales pudieran deducirse lógicamente todas las demás afirmaciones. En la matemática, dichas premisas se denominan axiomas o postulados, y en las ciencias empíricas, principios, leyes o hipótesis.

La parte más difícil de la investigación es la revelación de esas premisas de partida de la teoría. De forma esquemática, cada teoría puede considerarse un modelo de cierto fragmento de la realidad. En este modelo, como ya dijimos se pueden distinguir las partes informativas y de cálculo. La primera de ellas contiene información sobre hechos concretos, hipótesis y leyes referentes al campo del mundo real que se estudia. La segunda incluye todas las reglas y métodos para la transformación de la información disponible: reglas y principios de la lógica y también las secciones de la matemática que se aplican en la correspondiente teoría concreta, para la expresión de dependencia entre las propiedades investigadas y las magnitudes. A partir del análisis de los diferentes modelos aplicados en el proceso del conocimiento científico no es difícil arribar a la siguiente conclusión: cuanto más rico sea el contenido de la parte informativa del modelo y menos desarrollada la de cálculo, más difícil será someter a formalización el lenguaje de la teoría o la disciplina científica. Por el contrario, cuanto más pobre sea la parte informativa del modelo y más desarrollada la del cálculo, más difícil será elaborar el lenguaje formalizado de la teoría. Como se sabe, los métodos formales para el análisis del lenguaje científico obtuvieron su más extensa aplicación en las diferentes ramas de la matemática y, parcialmente, de las ciencias naturales: mecánica teórica, termodinámica, óptica geométrica. Esto se explica por el hecho de que el número de conceptos fundamentales y de relaciones entre ellos no es muy grande en esta ciencia al tiempo que la parte relacionada con el cálculo está lo suficientemente elaborada para obtener con rapidez un gran número de resultados fructíferos. De hecho, en la geometría de Euclides sólo había tres conceptos iniciales: “punto”, “recta” y “superficie”, vinculados entre sí por medio de cinco relaciones expresadas con las palabras “encontrarse”, “entre”, “congruente”, “paralelo” y “continuo”. La descripción exacta de estas relaciones se da por medio de veinte axiomas. Las reglas para la conclusión de este sistema se formalizan con ayuda del cálculo de predicados con igualdad.

Si nos referimos a cualquier ciencia empírica veremos que desde los propios comienzos opera con un gran número de conceptos y términos cuyas relaciones son con frecuencia tan complejas y confusas que no permiten una expresión precisa con ayuda de axiomas o por lo menos, exigiría una gran cantidad de ellos. Es por eso que en estos casos se renuncia a los métodos matemáticos formales de investigación y se apela a las consideraciones intuitivas y a los métodos heurísticos de razonamiento que se apoyan en la experiencia y en el arte del investigador. Incluso en los casos relativamente poco numerosos de utilización de métodos formales en la biología, la medicina y las ciencias sociales destinados a la obtención de conclusiones practicas, es menester emplear los métodos probabilísticos y, lo que es más importante, las máquinas computadoras. Como ejemplo se puede señalar el intento de emplear el lenguaje formal del cálculo de enunciados y los métodos de la teoría de toma de decisiones para la elaboración de los problemas del diagnóstico médico. En la forma más general y esquemática dicho enfoque se reduce a establecer un diagnóstico probable a partir de los síntomas que presenta el enfermo. Con este fin se analizan todas las combinaciones posibles de síntomas y enfermedades, algunas se consideran irreales desde el punto de vista de la medicina. De todas formas, el número de combinaciones admisibles sigue siendo tan grande que, para establecer un diagnóstico, hay que utilizar una computadora. Esto se presenta condicionado por las circunstancias de que las conclusiones a partir de las premisas en lenguajes tan complejos como los de la biología, la medicina y la sociología, resultan muy largas, por lo que son irrealizables sin computadora. Según la opinión del académico V. M. Glushkov, es precisamente el empleo de computadoras lo que amplía considerablemente las posibilidades de formalizar los lenguajes de las mencionadas ciencias. El hecho de que hayamos entrado en el siglo de la automatización de los procesos del conocimiento, nos permite considerar que han sido traspasadas las fronteras que detenían artificialmente las posibilidades de la matematización. Debe tenerse también presente que con el perfeccionamiento de las computadoras y, en especial, con la elaboración de métodos más complejos y flexibles de programación, se abren posibilidades para la modelación matemática de los procesos dinámicos complejos incluyendo la conducta de los seres vivos y la investigación de los problemas referentes al intelecto artificial.

El intelecto artificial está ligado habitualmente a la solución de las llamadas tareas intelectuales con ayuda de métodos automáticos y mediante el empleo de computadoras.

La primera dificultad con que nos tropezamos aquí consiste en comprender con claridad cuáles son los problemas y tareas que deben considerarse intelectuales. Puede parecer a primera vista que la solución de complicadas tareas de cálculo, como el hallazgo de raíces en ecuaciones y sus sistemas, constituye el ejemplo más típico de la tarea intelectual. Sin embargo, para la solución de muchas de esas tareas existen, como es sabido, algoritmos muy bien elaborados, por medio de los cuales el cálculo se reduce a la realización de una secuencia de operaciones de cierto tipo. Esta secuencia, expresada en un lenguaje “comprensible” a la máquina, no es otra que el programa para la solución de una tarea de cálculo que puede realizarse con ayuda de una computadora.

Por otro lado, existen muchas tareas del tipo de rompecabezas, juegos, así como un conjunto de problemas prácticamente importantes de reconocimiento de imágenes, traducción de un idioma a otro, búsqueda de demostraciones, los que se someten con dificultad a la algoritmización y exigen, indudablemente, la participación del intelecto en su solución. Todavía más, son precisamente esas tareas las que figuran con frecuencia en las investigaciones sobre el intelecto artificial, ya que se considera que nuestro intelecto funciona de forma más compleja y económica que por los rígidos cánones de los algoritmos.

El objetivo fundamental de las investigaciones sobre el intelecto artificial se reduce a encontrar los métodos efectivos para la solución de tareas que no pueden ser resueltas por medio de cualesquiera de los métodos existentes. En principio, esas tareas pueden ser resueltas por medio del examen de todas las variantes posible y la selección de la mejor entre ellas. Por supuesto, el número de tales variantes debe ser finito. Pero incluso en este caso, el número de variantes puede ser tan grande que ni siquiera las computadoras rápidas son de utilidad. Por ello surge el problema de encontrar aquellos métodos para la búsqueda de soluciones capaces de satisfacer ciertas condiciones de optimalidad.

En estos momentos hay que señalar, en primer lugar, los de la búsqueda heurística. La idea que le sirve de base es muy simple. Para limitar el volumen de examen de las diferentes variantes, es necesario disponer en una cierta información sobre la tarea planteada. En el ejemplo de un diagnóstico por medio de la combinación de síntomas y enfermedades que vimos antes, la exclusión de las combinaciones irreales se lograba con ayuda de la teoría médica. En otros casos puede usarse la información empírica, ligada, por ejemplo, a una determinada función valorativa, como sucede, por ejemplo en las tareas de programación óptima. Cualquiera que sea el carácter de semejante información, su objetivo no es otro que facilitar el procedimiento de búsqueda. De ahí que dicha información se denomina heurística y los métodos que se basan en su empleo de métodos heurísticos de búsqueda.

Cualesquiera métodos de búsqueda dependen, en grado sumo, de la forma de representación de la tarea misma. La aplicación de modernas teorías matemáticas brinda con frecuencia la posibilidad de formular más precisa y adecuadamente la tarea y facilitar su solución. Por ejemplo, en el método muy difundido de búsqueda, en la solución de una tarea en cierto espacio de posibles soluciones o estados, cada nuevo estado puede obtenerse con ayuda de un operador. A su vez, el espacio de situaciones que surge del estado inicial se representa habitualmente en forma de un grafo cuyos vértices concuerdan con estos estados y con los operadores que transforman un estado en otro. En el caso de una formulación semejante, la tarea de búsqueda de solución adquiere la evidencia y claridad necesarias. Por tal razón, el lenguaje de la teoría de los grafos resultó muy útil para la descripción de las estrategias efectivas de seleccionar en el espacio los estados posibles.

En realidad, si el vértice inicial del grafo corresponde a la descripción del estado inicial, entonces todos los vértices siguientes se obtendrán por medio de la aplicación de un operador hasta tanto no se halle el vértice final, que corresponde a la descripción del estado coincidente con el logro del objetivo propuesto. En el caso de un examen a ciegas de las diferentes variantes, es decir, en ausencia de cualquier información de carácter heurístico, la disposición de los objetivos no influye sobre el orden de creación de los vértices del grafo correspondiente. La obtención de dicha información encamina la búsqueda del lado del objetivo. Con estas palabras, en este caso se crearán primeramente los vértices demás perspectivas. La información heurística sirve aquí para el ordenamiento del examen en forma de función valorativa. El papel de dicha función, independientemente de cómo se ofrezca, se reduce a seleccionar aquel vértice del grafo cuya probabilidad de hallazgo en el mejor camino hacia el final es la mayor.

Los métodos de la teoría de los grafos resultan útiles también al comparar entre sí las distintas variantes de búsqueda. De hecho, es suficiente atribuir a los arcos del grafo valores que correspondan a los de la aplicación del operador representado por ellos para obtener los criterios de optimización. Resulta óptimo el camino entre los vértices que tenga el valor mínimo.

Los métodos de la búsqueda heurística representan, en esencia, la primera aproximación a la solución de los problemas relacionados con el intelecto artificial. Es por ello que resultan insuficientemente efectivos para la solución de tareas intelectuales muy complejas.

Las investigaciones modernas de este problema se valen de métodos sofisticados y complejos, los que, en grado considerado, están relacionados con la aplicación de novísimas ideas y teorías matemáticas y, en ocasiones, con el rechazo de representaciones teóricas de conjuntos tradicionales.


CONCLUSIONES

Lo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante demostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.

La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.

Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros. Esto la aleja de una definición definitiva.

Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.

El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español o el francés, por ejemplo) y los lenguajes formales (como el matemático o los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferentes. Tal vez la más acertada conclusión sobre la definición y naturaleza de la matemática está en que no se finaliza con una definición conclusiva, y en cuanto a su naturaleza podemos asegurar que la ciencia, en general, habla a través de la matemática.

 

BIBLIOGRAFÍA

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